1.梯形的定义及其有关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。
2.梯形的性质及其判定
梯形是非凡的四边形，它具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行。
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判定另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判定。
3.等腰梯形的性质和判定
性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角钱相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴。
判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角钱相等的梯形是等腰梯形。
梯形重难点分析
本节的重点是等腰梯形的性质和判定。梯形仍是具有非凡条件的四边形，它与平行四边形同属于非凡的四边形，它只有一组对边平行，而另一组对边不平行，但平行四边形两组对边分别平行。而等腰梯形又是非凡的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些非凡的平行四边形有一定的相似性和可比性。
本节的难点也是等腰梯形的性质和判定。由于等腰梯形又是非凡的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些非凡的平行四边形有一定的相似性和可比性，虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形，在熟悉和理解上有一定的基础，但还是轻易同非凡的平行四边形混淆，再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理，经常需要添加辅助线，学生难免会有无从下手的感觉，往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生，教师在教学中要加以注重。
梯形的教学建议
1.关于梯形的引入
生活中有许多梯形的例子，小学又接触过梯形内容，学生对梯形并不生疏，梯形的引入可从下面几个角度考虑：
①从生活实例引入，如防洪堤坝、飞机机翼，别致窗户、音箱外形等等；
②从小学学习过的旧知识复习引入；
③从发现的角度引入，比如给出一组图形，告诉学生这就是梯形，然后寻找这些图形的共同点，根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究；
④可用问题式引入，开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出梯形的定义和性质。
2.关于梯形的概念
梯形的相关概念小学就已经接触过，但并不深入，在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解：
①一组对边平行的四边形是不是梯形？
②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形？
③一组对边相等的图形是不是梯形？
④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形？
⑤对角线相等的图形是不是梯形？
⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形？
⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形？
⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形？
一、教学目标
1. 把握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念。
2. 把握等腰梯形的两个性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等。
3. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力。
4. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想
二、教法设计
小组讨论，引导发现、练习巩固
三、重点、难点
1.教学重点：等腰梯形性质。
2.教学难点：解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线).
四、课时安排
1课时
五、教具学具预备
多媒体，小黑板，常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的性质，归纳小结梯形转化的常见的辅助线
七、教学步骤
复习提问
1.什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有什么性质？
2.小学学过的梯形是什么样的四边形。
(让学生动手画一个梯形，并找3名同学到黑板上来画，并指出上、下底和腰，然后由学生总结出梯形的概念).
引入新课(板书课题)
梯形同样是一个非凡的四边形，与平行四边形一样，它也有它的非凡性，今天我们就重点来研究这个问题。
1.梯形及梯形的有关概念
(l)梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
(2)底：平行的一组对边叫做梯形的底(通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底).
(3)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。
(4)高：两底间的距离叫做梯形高。
(5)直角梯形：一腰垂直于底的梯形。
(6)等腰梯形：两腰相等的梯形。
(以上这一过程借助多媒体或投影仪演示)
提醒学在注重：
①梯形与平行四边形同属于非凡的四边形，因为它们具有不同的非凡条件，所以必然有不同的性质。
②平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等(让学生想一想，为什么不能相等).
③上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的。
2.等腰梯形的性质
例1 如图，在梯形 中， , ,求证： .
分析：我们学过“等腰三角形两底角相等”,假如能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就轻易解决了。
证实：(略)
由此得出等旧梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等。
例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等。
已知：在梯形 中， , ,求证： .
分析：要证 ,只要用等腰梯形的性质定理得出 ,然后再利用 ,即可得出 .
证实过程：(略).
由此得到多腰梯形的第一条性质：等腰梯形的两条对角线相等。除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。
3.解决梯形问题常用的方法
在证实梯形性质定理时，我们采取的方法是过点 作 交 于 ,从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取平行移动到 的位置，这种方法叫做平行移动(也可移对角线),这是解决梯形问题常用的方法之―(让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图).
(1)“作高”:使两腰在两个直角三角形中。
(2)“移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中。
(3)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形。
(4)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。
综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决。
数学知识解决实际问题。
教学过程：
一、活动与探究：
投影：a、b两地一天中的气温变化。问：
（1） 这一天a、b两地的平均气温分别是多少？
（2） a地这一天气温的极差、方差分别是多少？b地呢？
（3） a、b两地的气候各有什么特点？
（解题时先引导复习近平均数、极差、方差计算方法，对照图表请学生先说出两地在每时的温度，再计算。通过对这一问题的解决，更深刻理解极差、方差意义和作用，更好掌握计算方法。）
二、议一议
投影：学校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校际比赛，在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1） 他们的平均成绩分别是多少？
（2） 甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
（3） 这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
（4） 历届比赛表明，成绩达到5.96m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这次比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m，就能打破纪录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这次比赛？
（本题第（1）、（2）问对学生来讲，难度不大，但第（3）问要对学生分析加以正确点评。比如学生说甲运动员成绩比较稳定因为其方差、极差都比较小，也可以说甲的成绩比较好，还可以说乙较有潜力，因为乙的最好成绩比甲的最好成绩好等。对第（4）问，可以说在10次比赛中，甲运动员有6次成绩超过5.96m，而乙仅有5次，因此一般应选甲运动员参加校际比赛。但若要打破6.10m的跳远记录，则一般选乙运动员。）
三、想一想
方差越小是否就意味着这组数据越稳定？
（通过思考、讨论和交流，让学生了解其实并不尽然，应具体问题具体分析进行说明）
四、做一做
课本“做一做”
（1） 两人一组，在安静的环境中，一人估计1min的时间，另一人记下实际时间，将结果记录下来。
（2） 在吵闹的环境中，再做一次这样的实验。
（3） 将全班的结果汇总起来，并分别计算在安静状态和吵闹环境下估计结果的平均值和方差。
（4） 两种情况下的结果是否一致？说说你的理由
（组织学生实际操作，用录音机播放一段吵闹的声音，通过学生动手实践，目的让学生再次经历数据的收集和处理的过
《数据的波动》教学反思
所谓数学生活情境教学法就是教师以教材及生活中的数学素材为基本内容，通过计算机的辅助作用，为学生创建或模拟一个探索数学知识的“情境”，使学生的学习过程成为“数学家从已知到未知的探索过程”。让学生主动地去探索数学知识，从而激发学生探索数学奥秘的情趣，培养探索能力和探索方法，主动、全面地获得数学知识的方法。要求学习内容生活化，教学过程情境化。针对本节课的特点，我采用了“创设问题情境——启发引导学生对比观察讨论—发现问题—总结归纳——知识应用”为主线的教学模式，观察、分析、讨论、启发引导相结合的方式展开教学。充分借助于教材中三个厂家的统计图，组织引导学生通过观察、分析、讨论、交流获得知识信息，在反馈与交流中感受到知识的`不够用，从而使学生的思维始终处于积极的、主动探究的状态。
本节课在充分利用了教材给定的内容之外，我还根据学生的兴趣和实际，引入了本次期中检测成绩来引导学生理解一组数据方差的意义和方差的算法。班上在前十名中正好有总分相同的两学生的成绩，我便让学生思考，这两个学生的总分相同，那么他的学习状况是不是就一定是一样的呢？电脑排名总有个先后顺序，那电脑又是根据什么来排名的呢？我们又有什么办法来区别这两名同学成绩的异同呢？从而激发学生的求知欲。紧接着便引导学生分别计算出这两名同学成绩的方差来，发现他们的成绩相对平均分的波动状况不同，其中一位同学成绩相对均衡一些。这样既让学生加深了对方差含意的理解，同时也掌握了一组数据方差的算法。在这里我还有意识的强调了学生要对各门功课都要有相同的重视程度，力求全面发展，尽量不要偏科，学生通过自己的探索也深知全面发展的重要性了。
本节课在各环节的把握和时间的撑控方面比较成功，但在学生动手操作探索计算方面还有很大的提升空间，在计算两同学成绩方差的时候应该更加充分的放手让学生去算，还可以让计算能力较强的同学演板就更好了。
1)首先应使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望，教师在授课过程中可以多举几个生活中的小例子，不如选择仪仗队队员、选择运动员、选择质量稳定的电器等。学生从中可以体会到生活中为了更好的做出选择判断经常要去了解一组数据的波动程度，仅仅知道平均数是不够的。
2)波动性可以通过什么方式表现出来？第一环节中点明了为什么去了解数据的波动性，第二环节则主要使学生知道描述数据，波动性的方法。可以画折线图方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一种数量来描述数据波动大小，这就引出方差产生的必要性。
3)直接对方差公式作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介绍平均差等可以反映数据波动大小的其他统计量。
教学设计与教学反思
三角函数的诱导公式(一)
一、指导思想与理论依据
数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。
二。教材分析
三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书(人教a版)数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式(二)至公式(六).本节是第一课时，教学内容为公式(二)、(三)、(四).教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式(一)的基础上，利用对称思想发现任意角 与终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式(二)、(三)、(四).同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。
三。学情分析
本节课的授课对象是本校高一(1)班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。
四。教学目标
(1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；
(2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；
(3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；
(4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观。
五。教学重点和难点
1.教学重点
理解并掌握诱导公式。
2.教学难点
正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式。
六。教法学法以及预期效果分析
“授人以鱼不如授之以鱼”， 作为一名老师，我们不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想方法， 如何实现这一目的，要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究。下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析。
1.教法
数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质。
在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”， 由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦。
2.学法
“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情。如何能让学生最大程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题。
在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题 共同探讨 解决问题 简单应用 重现探索过程 练习巩固。让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习。
3.预期效果
本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题。
七。教学流程设计
(一)创设情景
1.复习锐角300，450，600的三角函数值；
2.复习任意角的三角函数定义；
3.问题：由 ，你能否知道sin2100的值吗？引如新课。
设计意图
自信的鼓励是增强学生学习数学的自信，简单易做的题加强了每个学生学习的热情，具体数据问题的出现，让学生既有好像会做的。心理但又有迷惑的茫然，去发掘潜力期待寻找机会证明我能行，从而思考解决的办法。
(二)新知探究
1. 让学生发现300角的终边与2100角的终边之间有什么关系；
2.让学生发现300角的终边和2100角的终边与单位圆的交点为 、的坐标有什么关系；
3.sin2100与sin300之间有什么关系。
设计意图
由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度，为同学们探究发现任意角 与 的三角函数值的关系做好铺垫。
(三)问题一般化
探究一
1.探究发现任意角 的终边与 的终边关于原点对称；
2.探究发现任意角 的终边和 角的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称；
3.探究发现任意角 与 的三角函数值的关系。
设计意图
首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二。同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进
(四)练习
利用诱导公式(二),口答下列三角函数值。
(1). ;(2). ;(3). .
喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题。
(五)问题变形
由sin300= 出发，用三角的定义引导学生求出 sin(-300)，sin1500值，让学生联想若已知sin = ,能否求出sin( ),sin( )的值。
学生自主探究
1.探究任意角 与 的三角函数又有什么关系；
2.探究任意角 与 的三角函数之间又有什么关系。
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题-观察发现-到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战。而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战。彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步。
展示学生自主探究的结果
诱导公式(三)、(四)
给出本节课的课题
三角函数诱导公式
设计意图
标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结。
(六)概括升华
的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符合。(即：函数名不变，符号看象限。)
设计意图
简便记忆公式。
(七)练习强化
求下列三角函数的值：(1).sin( ); (2). cos(-20400).
设计意图
本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯。这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的。
学生练习
化简： .
设计意图
重点加强对三角函数的诱导公式的综合应用。
(八)小结
1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤。
2.体会数形结合、对称、化归的思想。
3.“学会”学习的习惯。
(九)作业
1.课本p-27,第1,2,3小题；
2.附加课外题 略。
设计意图
加强学生对三角函数的诱导公式的记忆及灵活应用，附加题的设置有利于有能力的同学“更上一楼”。
(十)板书设计：(略)
八。课后反思
对本节内容在进行教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来，通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标，
然而还有一些缺憾：对本节内容，难度不高，本人认为，教师的干预(讲解)还是太多。
在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效。
教学设计与教学反思
《比的意义》教案
南阳市第十七小学刘冬冬
教学内容：
教材48.49页的内容及相关题
学习目标：
1、能说出比的意义，教学设计及反思。
2、能说出比的各部分名称。
3、会读、写比。
4、能说出求比值的方法，并能准确地求出比值。
5、能说出分数、除法和比三者之间的联系和区别。
6、通过本节课的学习，激发爱国的情感，培养良好的学习习惯。
教具：
多媒体课件
学习过程：
一、板书课题：
过渡语：同学们，这节课我们一起来学习《比的意义》。
二、揭示目标：
过渡语：这节课的学习目标是什么呢？请看：（出示学习目标，生齐读），有信心实现这节课的学习目标吗？
三、自学指导：
过渡语：下面，请大家打开书翻到第48到49页，我们请自学指导来引领我们达到目标，请看自学指导(投影出示：师读)。
自学指导：
认真看课本48、49页内容，画出关键句子，并思考以下问题：
1、主题图呈现的是什么内容？你有何感想？
2、什么叫做两个数的比？
3、在15:10= 3/2 中，15叫（ ），“：”叫，10叫（），3/2叫（ ）。
4、怎样求比值？
5、比、除法、分数之间有什么关系？
（3分钟后比谁能做对检测题）
师：自学竞赛开始，比谁看书认真，自学效果好！
四、先学：
1、看一看：
学生看书自学，教师巡视，确保每一名学生都在紧张地自学，教学反思《教学设计及反思》。
2、做一做：
过渡语：（3分钟后）师问：“看完的请举手？”“看懂的把手放下”如全部放下，下面老师就来检测一下同学们的自学效果。先对自学指导进行交流检测，再完成下面检测题。
①填一填
小敏和小亮在文具店买同样的练习本。小敏买了6本，共花了1.8元。小亮买了8本，共花了2.4元。小敏和小亮买的练习本数之比（ ）:( ),比值是（ ）；小敏花的钱数和买的本数之比是（ ）:（ ），比值是( ).
②六。三班在践行“社会主义社会主义核心价值观”的比赛中，第二周a队各小组的量化积分如下表：
组别
a1
a2
b1
b2
人数
5
6
6
4
得分
22
27
30
18
（1）a2组和b1组的所得分数之比是（）：（）
（2）a1组的所得分数和人数之比是（）：（），比值是（）；b1组的所得分数和人数之比是（）：（），比值是（）。